行列式和矩阵（一）

虽然19世纪行列式和矩阵引起了大家的注意，但它们与其说是数学上的改革，不如说是语言上的改革。不像向量和导数等创立新领域的概念，矩阵和行列式是对已有概念的速记表达式，不提供方程或变换以外的内容。它们是非常有用的数学工具，一是作为紧凑的表达式，二是矩阵在学习群论一般定理中有启发作用。

行列式出现在解线性方程组中，然后是消元法、坐标变换、多重积分中的变数替换、解行星运动的微分方程组、将三个或多个变数的二次型及二次型束（一个束为A+λB，其中A、B为指定型，λ是参数）化简成标准型。19世纪直接继承了克莱姆、贝祖、范德蒙、拉格朗日和拉普拉斯的工作。

1815年柯西把行列式这个词（高斯用来指二次型 的判别式）用在18世纪出现的行列式中，并把元素排成方阵，采用双重足标记法。例如一个三阶行列式写为（1841年Cayley引入两条竖线）

同时柯西给出了行列式第一个系统的、近乎现代的处理。主要结果之一是行列式的乘法定理。拉格朗日已经对三阶行列式给出了这一定理，但他行列式的行是一个四面体的顶点坐标，是一种未推广的特殊情形。按柯西的说法（用现代记号表示），一般定理是 ，|a||b|代表n阶行列式，而 ，意思是第i行第j列的项是|a|的第i行和|b|的第j列对应元素的乘积之和。1812年比内(Jacques Philippe Marie Binet,1786-1856)曾叙述这一定理，但没有进行满意的证明。柯西改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。

1825年舍克(Heinrich Ferdinand Scherk,1798-1885)给出了几个行列式新性质。他建立了只有一行（或列）不同的两个行列式相加的规则和一常数乘行列式的规则。他说当一个方阵的某一行是另两行或其它几行的线性组合时，其行列式为0，以及三角行列式（主对角线以上或以下的所有元素是0）的值是主对角线上元素的乘积。

西尔维斯特（James Joseph Sylvester,1814-1897)持续搞行列式理论，虽然他在剑桥数学会考成绩优异，但因为是犹太人，被禁止在剑桥任教。1841-1845他在弗吉尼亚大学任教，后来回到伦敦，1845-1855担任书记官和律师。之后在英格兰当老师到1871年，经过一些活动后到霍普金斯当教授，1876年起演讲不变量理论，他开创了美国的纯数学研究，创办了《美国数学杂志》。1884年(70岁)回到英格兰成为牛津教授（这次真的是莫欺少年穷了）

西尔维斯特是个活泼、敏感、兴奋、热情甚至易激动的人，他引入了很多新术语，开玩笑地把自己比作亚当（亚当曾给野兽和花起名字），虽然他涉及力学和不变量理论等领域，但他没有系统而彻底地作出理论。他频繁地作出猜想，其中不乏出色的，但也有很多错的。他的主要贡献是组合的思想以及从较具体的发展中进行抽象。

西尔维斯特的重要成就之一是改进了从一个n次和m次的多项式中消去x的方法，称为析配法(dialytic method)，比如为消去方程 中的x，形成五阶行列式 ，该行列式为0是两个方程有公***根的充要条件。

1841年雅可比首次给出当行列式元素是t的函数时其导数公式。设aij是t的函数，Aij是aij的余子式，D是行列式，则 这个'表示对t的微商。

行列式还用于多重积分的变数替换，1832-1833雅可比找到一些特殊结果。后来1839年卡特兰(Eugene Charles Catalan,1814-1894)给出了一些今天常用的结果，如二重积分 在变数替换x=f(u,v),y=g(u,v)下成为 这里G(u,v)=F(x(u,v),y(u,v)),其中的行列式称为x,y关于u,v的雅可比行列式或函数行列式。

雅可比对函数行列式专门写了一篇重要文章，在文中他考虑n个函数u1,u2,...,un，每个函数都是x1,x2,...,xn的函数，他问什么时候能从这n个函数消去xi使ui用一个方程联系起来，如果不可能则称函数ui是无关的。答案是，如果ui关于xi的雅可比行列式是0，则函数不是无关的，反之若函数不是无关的，则行列式值为0。他还给出雅可比行列式的乘积定理，如果ui是yi的函数，而yi是xi的函数，则ui关于xi的雅可比行列式是ui关于yi的雅可比行列式和yi关于xi的雅可比行列式的乘积、