区域变量和变异函数
为了便于后面内容的描述，这里对随机变量、随机过程、均值、方差、协方差等相关概念进行简要描述(盛舒等，2001)。
4.2.1.1.1随机变量
在相同的分组条件下，如果每个实验中可能出现不同的结果X，并且可以列出结果X {x1，x2，…，xn}的所有可能值，并且这些可能值具有一定的概率{P(x1)，P(x2)，…，P(xn)}，那么X称为随机变量。
随机变量分为离散型和连续型。离散随机变量的值的个数是有限的，也可以是无限的，比如掷骰子时出现的点数就是一个离散随机变量。连续型随机变量可以连续取一个区间的所有实值，比如某一点的地表高程值就是一个连续型随机变量。
4.2.1.1.2随机过程
简单来说，随机过程就是一族随机变量。设ω为概率空间，t为实数集。如果任意t∈T有一个定义在ω上的随机变量X(t，ω)与之对应，则称随机变量族{X(t，ω)，t∈T}是一个随机过程。
4.2.1.1.3平均值
均值，也称为数学期望，反映了随机变量本身的中心趋势。
对于离散型随机变量X，分布率为P{X=xk}=pk，k = 1，2，...如果级数是绝对收敛的，称为随机变量x的数学期望。
x是连续的随机变量，f(x)是概率密度函数。如果积分绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望..
4.2.1.1.4方差
方差是衡量随机变量离散性的指标，反映了变量的变化范围。对于随机变量X，如果e {[x-e (x)] 2}存在，则称d (x) = var (x) = e {[x-e (x)] 2}是随机变量X的方差，称为标准差或均方差。方差反映了随机变量x的值与数学期望之间的偏差。方差越小，x的值越集中。反之，方差越大，x的值越分散。
4.2.1.1.5协方差
协方差是反映随机变量之间相关程度的指标。设X和y是两个随机变量，那么X和y的协方差为Cov(X，y) = E {[x-e (x)] [y-e (y)]}，相关系数为Cov(X，y)。如果随机变量X和Y相互独立，那么协方差和相关系数都为零。
协方差具有以下属性:
(1)Cov(X，Y)=[D(X+Y)-D(Y)-D(Y)]/2 = E(XY)-E(X)E(Y)；
(2)Cov(aX，bY)=abCov(X，y)，A和B为常数；
(3)Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y).
4.2.1.2区域变量及其特征
区域变量是指具有空间变异性的变量和参数，如地表高程、地下水位、地层厚度、矿床品位等。这些区域变量是定义在空间点上的一些实函数。函数的自变量是空间点的坐标，函数对应空间中的每一点都有一定的值(侯镜如等，1993)。一个空间点的位置可以用1 ~ 3维坐标来定义。比如区域地形图上的高程值是定义在水平位置(x，y)的区域变量，而岩体强度是定义在空间位置(x，y，z)的区域变量。
区域变量具有以下特征:
(1)区域变量具有一定的随机性，其函数值由测点的空间位置决定，一般无规律特征。在图4.1所示的地形等高线图中，任意水平坐标点处的高程都是随机的，没有明确的变化规律。
(2)区域变量不是纯粹随机的，而是具有一定的相关性。当测量点彼此靠近时，测量值也接近。比如图4.1中，同一山坡上的A点和B点距离很近，高程值也很接近。相邻点测量值比较接近的现象说明区域变量在空间分布上有一定的相关性。
图4.1区域变量示例(地表高程)
克里金法的基本任务是寻找区域变量的相关性和随机函数的空间结构，即自相关函数(协方差函数或变异函数)，进而给出区域变量在任一非测量点的最优估计，并计算估计的置信区间。
4.2.1.3平稳假设和内在假设
4.2.1.3.1平稳假设
设Z(x)是定义在空间位置x的区域变量，h是任意位移。如果Z(x)的任意n维概率分布函数不被空间点x的位移h改变，则随机函数Z是平稳的。也就是说，无论H如何变化，以下公式成立:
P{Z(x1) =P{Z(x1+h) 上述假设过于苛刻，在实践中难以满足，因此在应用中采用二阶平稳假设: (1)在研究区域中，区域变量Z(x)的数学期望存在且处处相等，即: 三维地质建模方法及程序实现 (2)研究区区域变量Z(x)的协方差函数存在且稳定。协方差函数只取决于位移h，而与位置x无关，即: 三维地质建模方法及程序实现 4.2.1.3.2蕴涵假设 当区域变量Z(x)的增量Z(x)-Z(x+h)满足以下条件时，称Z(x)满足内禀假设: (1)在研究区域内，区域变量Z(x)的增量Z(x)-z (x+h)的数学期望为零，即: 三维地质建模方法及程序实现 (2)增量Z(x)-Z(x+h)的方差函数存在且稳定，即增量的方差函数与x无关: 三维地质建模方法及程序实现 4.2.1.4变异函数 4.2.1.4.1变异函数定义 区域变量在x和x+h处的值Z(x)和z (x+h)之差的一半方差称为区域变量的变差函数，即: 三维地质建模方法及程序实现 当区域变量满足内在假设时，变差函数为: 三维地质建模方法及程序实现 修改公式(4.6)并与公式(4.2)合并: 三维地质建模方法及程序实现 4.2.1.4.2协方差函数和变差函数的性质 如果区域变量Z(x)满足二阶平稳条件，则C(h)存在且平稳，并具有以下性质: (1)C(0)≥0，即先验差不小于零。根据公式(4.2)，C(0)=Cov{Z(x)，Z(x+0)}=Var{Z(x)}≥0。 (2)C(h)=C(-h)，即C(h)关于直线h=0对称。根据二阶平稳条件，协方差函数只与距离h有关，而与位置无关。然后，在等式(4.2)中，设x=y-h，则: C(h)= E[Z(x)Z(x+h)]-m2 = E[Z(y-h)Z(y)]m2 = C(-h). (3)C(0)≥C(h).根据公式(4.7)，γ(h)= e[z(x)-z(x+h)]2 = c(0)-c(h)≥0。 (4)当h→, C(h)→C()=0时。协方差函数C(h)反映了区域变量Z(x)和Z(x+h)之间的相关性。如果h→,说明两个随机变量的位置是无限的，所以失去了相关性。 如果区域变量Z(x)满足二阶平稳条件，则γ(h)存在且平稳，并具有以下性质: (1)γ(h)=C(0)-C(h)？γ(0)=C(0)-C(0)=0 . (2)γ(h)=E[Z(x)-Z(x+h)]2≥0 . (3)γ(-h)= C(0)-C(-h)= C(0)-C(h)=γ(h). (4)γ()=C(0)-C()=C(0). 图4.2变化曲线 4.2.1.4.3变化曲线 以变差函数γ(h)和H为坐标轴，建立γ(h)和H的关系曲线(图4.2)，这就是变差曲线。 在图4.2中，C0是金块效应，当没有金块效应时，C0=0。a是极差变化，当h≤a时，任意两点间的观测值是相关的，这种相关性随着H的增大而减小；当h > a时，两者不相关。也就是说，值域A是区域变量从空间相关状态到不相关状态的转折点。幅度反映了区域变量的变化程度。从图4.2可以看出，γ(h)先随H的增大而增大，当H > A时，γ(h)趋近极限值γ()，γ()=C0+C称为拱座值，C为拱高。 4.2.1.4.4变差函数的理论模型 变异函数与随机变量的距离h之间存在一定的关系，可以用一个理论模型来表示。常用的变差函数理论模型有球形模型、高斯模型和指数模型。公式(4.8)至(4.10)中的符号同上。 (1)球形模型的公式如下: 三维地质建模方法及程序实现 (2)高斯模型的公式如下: 三维地质建模方法及程序实现 其中:A不是射程，高斯模型射程约为 (3)指数模型的公式如下: 三维地质建模方法及程序实现 其中:a不是区间，指数模型的区间是3a左右。 4.2.1.4.5变差函数拟合 变异函数的理论模型和模型系数可以用实测样本值拟合。根据变差函数的定义，理论变差函数的估计值可以用公式(4.11)表示。 三维地质建模方法及程序实现 其中:N(h)是距离为h时的观测数据对的个数。 利用公式(4.11)，可以得到不同距离H对应的理论变差函数γ(h)的估计值γ*(h)。将h和γ*(h)作为直角坐标系的两个坐标轴，在这个坐标系上绘制所有点(hj，γ*(hj))，然后进行回归拟合h-γ(h)曲线，从而得到变差函数。 下面以球形模型为例，介绍变差函数的拟合方法。 对于球形模型，当h=0时，γ(h)= 0；当h & gta，γ(h)=C0+C=(γ)，为常数，形式简单；当0 三维地质建模方法及程序实现 对所有观测值(hj，γ*(hj))进行变换，得到n个新的观测值{(yi，x1i，x2i) i = 0，1，...，n}。系数b1和b2的值可以通过二元线性回归获得。回归系数b1和b2由以下等式确定: 三维地质建模方法及程序实现 哪里:。公式(4.13)中方程的解为: 三维地质建模方法及程序实现 当b0≥0，b1>0 > 0，B2 < 0时，我们得到: 三维地质建模方法及程序实现 方程(4.15)是拟合球面模型的参数值。