盖尔方特的研究成果
与广阔的研究领域相关联，与他合作过的科学家数量惊人。截至目前，以格尔凡特个人名义发表的论文有33篇，仅占其发表论文总数的7%。与他共同发表论文的作者(包括中国数学家夏道行)有206人，其中有2人合作发表论文超过50篇；5篇20至49篇；10至19共22篇；5到9篇文章有21作者。这些论文的名字不仅仅是出于对导师的尊重，主要是因为他真的深入到了这些课题的研究中。正如Pyatetski-Chapireau所说，在65，438+0，958之后，Galfant几乎不再单独进行研究。合作中，他提出课题就是“催化剂”，遇到困难就是“救火队”。
格尔凡特的科学研究与教学密切相关。他经常教入门课，善于在课堂上启发和提问。他在1944开了一个泛函分析的研讨会，然后是理论物理的研讨会。他不断提出独特的问题，进行深刻的观察并找到克服困难的线索，从而使他的研讨会成为苏联发展泛函分析和培养数学新秀的主要中心之一。许多年轻人与他合作。大部分来自他的研讨课。他建立了高尔方特学派，其中有杰出的数学家，如皮耶罗、卡里坦、奈马克、什洛夫、福明、基里洛夫、戈拉耶夫、富克斯、伯恩斯坦等。1990处的Pyatetski-Chapireau。
Gelfant有几乎不可思议的能力看到看似不相关的事物之间的联系。他有提炼一个概念的天赋，这个概念可以导致对大量不同数学现象的统一理解。在他的早期研究中，他因对韦纳陶贝尔定理的代数特征的深刻观察而闻名。他后期的数学研究一直以分析方法和代数方法相结合为特点。在1962国际数学家大会上，他提醒人们齐次空间的S函数与海森堡S矩阵的相似性，后来A. д Fathier和Lax的研究结果证实了这一观点的重要性。
他的研究总是提出或发展基本概念，而不仅仅是提供技术信息。他经常展示生动的图片和新的方法来调查研究课题，为后人指出进一步发展的线索。就这样，他的大部分研究被吸收并融进了当代数学发展的主流。
Pyatetski-Chapireau认为苏联数学领域有三位大师，分别是安德雷·柯尔莫哥洛夫、沙法列维奇和格尔凡特。其中，“格尔凡特是最伟大的。他有着和沙法列维奇一样深厚的数学造诣和和安德雷·柯尔莫哥洛夫一样广博的知识。此外，格尔凡特还有一项特殊的才能:他可以同时从事几个基础领域的研究，而不会感到增加工作的难度...在这方面，格尔凡特算不了什么。
Banach代数与调和分析
20世纪30年代中期，j·冯·诺依曼建立了深奥的冯·诺依曼代数理论。有些奇怪的是，当时虽然有人对交换赋范代数做了一些零碎的研究，但始终没有建立一个普遍的理论。直到20世纪30年代末40年代初，高尔方特才完整地建立了Banach代数的系统理论。
Gelfant在定义了一般赋范环R之后，创造性地引入并掌握了极大理想的基本概念。他建立了R的特征空间与R的极大理想空间之间的一一对应关系，定义了现在称为Gelfant变换的映射，证明了每一个赋范环R都可以同态映射为定义在R的极大理想形成的Hausdorff空间上的连续函数环，而这种同态同构的充要条件是R中不存在广义幂零元，他还证明了傅。
Gail Fant的另一个创造性思想是将Hilbert空间中线性算子的谱理论推广到以前的赋范代数的元素上，从而建立了广义谱理论。对于R的元素X，他把使x-ζe(e是R的单位元素)在R中不可逆的复数ζ的集合定义为X的谱，他认识到为了使这个概念有成果，应该假设R是完备的，这就是Baba。
几十年来，Gelfant创立的Banach代数理论一直是泛函分析中最活跃的研究领域之一。他的极大理想思想不仅使调和分析发生了革命性的变化，而且对代数几何的发展也产生了巨大的影响。他的广义谱理论极大地简化和推广了D. Hilbert和von Neumann在20世纪前30年建立的Hilbert空间中算子的谱理论。
在出色地建立了赋范环理论之后，Gelfant[在M.A. Naimak (HaMAPK)的合作下]创立了c*代数的一般理论。本来c*代数是指Hilbert空间中的一致闭算子代数，但Gelfant和Naimak在他们的基础论文中指出，不需要使用Hilbert空间，只要在赋范环中引入映射x→x*(满足)即可。(xy)*=y*x*，(λx)*=λx*，(x*)*=x，|| x * x || = || x ||| 2)，我们可以定义一个“具有对合的一般赋范环”。本文证明了以下基本结果:每一个具有对合的非交换赋范环。它现在被称为c*代数。通过c*代数上的状态，我们可以得到著名的GNS (Gelfant-Nemak-Siegel)结构。利用Gelfant的理论，我们可以得到F. Riesz和von Neumann，E. Hellinser和H. Hahn之前的“单位分解理论”。C*代数已经成为泛函分析的基本工具。因为量子系统的观测代数可以解释为c*代数，而量子系统的态等价于c*代数上的态，所以c*代数在60-70年代量子场论的公理化处理中起了主导作用。
gel fant[与PaKOB合作]还利用赋范环理论把实数线上的调和分析推广到局部紧阿贝尔群。他和魏一起完整地建立了局部紧阿贝尔群上的调和分析。他指出关于Hal测度可积的函数的局部紧阿贝尔群G上的全Hugh L1(G)构成了Barnard。定义了L1(G)中元素f的傅里叶变换f，建立了它的反演公式和与帕塞瓦尔方程、普朗克定理等价的命题。证明了L1(G)的闭理想I等于L1(G)的充要条件是f∈L1(G)的存在性。这个命题包含了维纳的广义陶贝尔型定理。他用赋范环理论(Naimak合作)研究调和函数，证明了Hilbert空间H中群G的不可约酉表示T和G的子群U中至多有一个关于算子Tu(u∈U)的不变向量，从而奠定了调和函数理论的基础。Galfant一直在密切关注分析中的代数。从20世纪40年代初开始，他研究了连续群的表示理论，并把它看作是体现代数和分析紧密结合的最令人激动的分支。事实上，表征理论的确是20世纪40年代以来数学中最活跃的研究领域之一。
20世纪初，F. G. Frobenius和I. Schur研究了有限群的有限维表示。后来，E. Cartwright和H. Weyl对紧李群的有限维酉表示作了基础性的研究。由于物理学的发展，E. P. Wigner在他的关于非齐次Lorenz群的论文中写道。
在1943的论文中，Galfant(与Rajkov合作)首先正确地提出了表示论的基本问题:“表示作为酉矩阵的自然扩张在Hilbert空间中表示为酉算子”。基于酉表示与正定函数的关系，证明了每个局部紧群都有一个不可约酉表示的完备系。这是抽象调和分析和群表示理论中最重要的定理之一，为以后的大量研究提供了基础。
然后从1944到1948，Gelfant(奈马克合作)发表了一系列论文(文学，Vol.2，PP . 41—137；；)，构造了经典复李群的无限维表示。他们从简单明了的公式出发，给出了2阶模复矩阵群SL(2，c)的所有不可约酉表示，将其分为主级数和补级数，证明了SL(2，c)的任何酉表示都可以分解为主级数和补级数中的表示的直和。因为SL(2，c)与Lorenz群是局部同构的，因此，它也是对理论物理的贡献。这项工作与Bargmann在1947中对SL(2，r)的不可约酉表示的研究一起，成为酉表示理论的真正起点。
Galfant进一步研究了复半单李群的不可约酉表示。在n阶模多参数函数构成的空间中，他引入了“广义线性元”Z，在Z的空间中引入了适当的测度，并考虑了测度为平方可积的函数的空间H。对于g∈G，G到H的算子Tg由Tgf(z)=f(zg)α(zg)决定(α由Tg1g2=Tg1Tg2决定且Tg为酉算子)。以这种方式定义的酉表示是不可约的。根据H上内积引入方式的不同，这些表示分为主数列和补充数列。考虑“带删节的广义线性元素”，得到退化的主级数和退化的余级数。他找出了每个不可约表示的相应特征标的具体形式。他定义了经典群的不可约酉表示的迹，得到了它的显式表示，并证明了无论等价与否，该表示都是其迹的唯一判定。
对于当K是任意局部紧非离散域时SL(2，K)的酉表示，他建立了统一的理论[与M. и合作。γγpaeB]，完整地列出了SL(2，k)的不可约酉表示，指出除了主级数和补充级数外，还有三个离散表示级数和1个奇点。
由于无限维李群经常出现在数学、流体力学和量子场论中，Gelfant【与Gorayev、A.M. Versik (BEP ши k)等人合作】也对无限维幺正表示做了大量的研究。比如对于具有规范理论背景的群Gx(黎曼流形X上的光滑函数组成的群，其值在紧半单李群G中)。证明了当dimX≥4时，这些表示是不可约的。(后来又有人证明dimX=3不可约，dimX=1不可约。)
格尔凡特对自守形式作了重要的研究。他认为几乎所有自同构函数论中的问题都可以表述为将给定的半单李群G的表示分解成函数空间中的不可约表示。在他关于1952中常负曲率流形上的测地流的论文中，他证明了自同构形式的空间的维数等于给定表示中离散序列的表示的重数。后来他又被ии变换。本文系统地研究了空间G/T(T是G的子群)中半单李群G的谱，得到了Galfant-Pyatetski-Chapireau互易律(G/T上的不可约表示是指U的重数等于U的所有自同构形式组成的线性空间的维数)和迹公式。
例如，他在研究李代数的包络代数时，提出了现在称为Galfant-kirilov维数的概念，这导致V. Katz (Kac)将这种具有有限维数的代数分类，然后提出了Katz-Moody代数，这在理论物理中非常有用。
盖尔·范特关于古典群的无限维表示可以像有限维表示一样清晰优美地描述的基本思想，已经被证明是非常深刻的。虽然像卡坦、韦伊、塞尔伯格、魏等大师都曾研究过表征理论，但按基里洛夫的范围之广、方法之深刻、结果之完善来说，盖尔方特是无与伦比的。对积分几何的系统研究始于blaschke。但Gelfant认为其研究领域在50年代以前相当狭窄，主要是计算一些齐次空间的不变测度。他提出积分几何的基本课题应该是:在空间x中给定一个依赖于参数λ1，…，λk的解析流形m = m (λ) =如果是这样，得到用I(λ)表示的f(x)的公式，研究λ的什么函数可以表示为积分的上述形式。对于Cn中的平面复形，他解决了积分几何的基本问题。
Gelfant(与Gorayev合作)在积分几何的研究中创造了一种强有力的“极限球”方法。设X是作用在变换群G上的齐次空间，对于每个g∈G，在X上的群G的函数f(x)的空间E中有一个由Tgf(x)=f(xg)定义的表示，它必须分解成不可约的表示。他提出在X中挑出一个叫做“极限球”的子流形(它是Rn中超平面概念的推广，当X是罗巴切夫斯基空间，G是X中的移动群时，它是经典的极限球)，并把G看成作用在极限球形成的空间X’上。一般来说，G在X '上的函数的空间e '，他发现复半单李群的调和分析中的许多问题都可以用极限球方法归结为求解积分几何。Gelfant是第一个充分看到C. Sobolev和后来L. Schwartz的广义函数理论的重要性和广阔前景的苏联数学家。在20世纪50年代以后广义函数理论的发展中，Gelfant及其合作者走在了前面。早在1953，他就提出了在各种基本函数空间上构造广义函数，针对不同的问题选择最合适的函数空间的思想，这是可能的，也是必要的。这种思想使广义函数成为一种具有广泛适应性的工具，可以应用于微分方程、表示论、积分几何、随机过程理论等领域。
从1958到1966，Gelfant、F.E. shilov、H.Vilegin、Gorayev和Pyatetski-chapirau出版了6卷总标题为广义函数的巨著。第一卷讨论广义函数的定义和基本性质。广义函数的傅里叶变换和各种特殊类型的广义函数。在第二卷中，研究了各种类型的基本函数空间，它们上面的广义函数和相应的傅立叶变换。第三卷利用广义函数研究了偏微分方程柯西问题解的唯一性和适定性以及自伴微分算子按特征函数的展开。第四章主要研究了核空间及其应用，介绍了希尔伯特空间。后者让很多结果更加完整美观。本卷还讨论了正定广义函数，广义随机过程和线性拓扑空间中的测量理论。第五卷研究了Lorenz群和与之相关的齐次空间中的调和分析。第六卷研究了表示论和自同构函数。这本书享有国际声誉，已被翻译成中文、英文、法文和德文。成为培训分析师的基础教材和经典著作。C Chevally和S. Eilenberg在1948中给出了李代数同调的形式定义。在随后的20年里，有限维李代数的上同调理论得到了广泛的发展。自1968，gal fant[主要由дb . fuchs(фyk)完成。本文研究无限维李代数的上同调。这个理论现在被称为Galfant-fuchs上同调。他们证明了如果M是n维闭可微流形，u(M)是M上光滑切向量构成的李代数，泊松括号作为转置运算，对于任意Q，同调空间HQ(u(M)；r)是有限维的；当0≤q≤n时
r)由2-D生成器和3-D生成器生成，两者都具有简单的显式表示。
对于Rn中形式向量场的李代数Wn，Gelfant等人通过Glassman流形的骨架引入了空间Xn，证明了对于所有q，n，HQ(Wn；r)同构于HQ(xn；r)；环h *(wn；r)中的乘法是平凡的，即两个正维元素的乘积为零。空间Xn的同调可以通过标准拓扑方法计算，例如，当0
由于Galfant-fuchs上同调关系到代数几何、代数数论、分析、量子场论以及几何中的许多问题，所以这项研究在国际上引起了很大的反响，并启发了很多后续的研究，如C. Goadby和J. Vey的工作。微分算子的谱与其系数之间的关系是一个重要的应用问题。考虑(0，+∞)上给定的二阶微分方程y"+(λ-q(x))y=0，边界条件y(0)=1，y'(0)=h，其中q(x)在任意位置。如果存在，确定计算q(x)的方法。虽然之前也有人做过这方面的研究，但是Galfant用了一个独创的方法，就是将其转化为积分方程的方法。他通过积分方程表达了ρ (λ)是给定问题的谱函数的充要条件。对于有限区间内的相似方程和边界条件，他证明了对于满足渐近方程的任意序列，都可以构造q(x)。设给定的序列是对应的特征值序列。对于微分方程y"+(λ-q(x))y=0-hy(0)=0，y'(π)+Hy(π)=0特征值序列{λn}，他们得到一个非常简单的方程，其中{μn}是方程y "。有一种将逆谱问题转化为线性积分方程求解的方法，后来被L.S. Gardner等人在研究kdV方程的孤子解时采用，后来被P.D. Lax等人发展成为求解非线性微分方程初值问题的系统方法——散射反演法。
Gelfant在1960中提出了椭圆型偏微分方程的同伦分类。其实这个问题是他在1945到1946的讨论课上提出来的。他给出了两个方程或问题是同伦的定义，指出寻找同伦不变量并用方程的系数来描述同伦不变量具有重要意义，并特别指出“一个期望同伦不变量是问题的指标，即给定齐次问题的线性无关解的个数与相应伴随齐次问题的线性无关解的个数之差”。这篇论文产生了深远的影响，激发了对指数理论的持久研究。当. M.F. Atiyah和I.M. Singer在牛津考虑他们著名的指数定理时，这是他们接触到的第一篇论文。
20世纪70年代后半期，Gelfant再次研究了逆谱问题[由д A. Dickey]发现第k个Lax算子恰好是，其中D2+q是希尔方程，(D2+q)是它的S的复幂，(D2+q)是它被D展开为伪微分时的正部分。这个结果在R.B. Ejdero等人的研究中起了重要的作用。Galfant还发展了一种形式变分理论，揭示了孤子方程的哈密顿特征，并为其积分的代数计算提供了一种形式工具。Gelfant在1958开始学习生物学和生理学。他首先成立了一个相关的研讨会，然后与其他领域的专家组织了一个实验室，使生理学家、物理学家和数学家能够在研究的各个阶段相互交流和合作。在这个房间里进行了许多关于运动控制和小脑生理学的研究项目。他与M. Vasileff合作，在莫斯科大学建立了一个生物数学方法跨学科实验室。
Gelfant与M. Tsetlin合作，用独创的“深谷法”研究体育的运行控制。他与и Arshavski等人合作，提出了非个体受控多层系统的概念。通过可控运动的标本实验，证实了脊髓内存在信号传递路径，同时也研究了信号通过不同路径进入小脑的差异(1969)。
Galfant等人在研究肝腹水肿瘤细胞复合体的过程中，发现肝腹水具有两种新的细胞间接触方式——有丝分裂周期同步化和增殖接触加速。他们揭示了两组形态发生过程-壳细胞质的产生和通过成纤维细胞培养的细胞极化。
格尔凡特和其他几位学者合著了三部专著，分别关于培养中的肿瘤细胞和正常细胞，关于正常细胞、肿瘤细胞和培养基之间的相互作用，以及关于小脑和节律运动的控制。
需要强调的是，除了前几篇论文，Gelfant与相关专家合作做了大量的实验和理论探讨，而不是将数学方法应用于生物学或者发展生物学的数学模型。