如何理解…的重大历史意义
几何学的一个分支。
公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得把一些众所周知的几何知识作为定义和公理，研究图形的性质，推导出一系列定理，形成演绎系统，写出了几何的要素，形成了欧几里得几何。
在其公理体系中，最重要的是平行公理，对这一公理的不同理解导致了非欧几何的出现。
根据问题中的图形，在平面上或空间上分别称为“平面几何”和“立体几何”。
欧几里得几何是指根据欧几里得的《几何原本》构造的几何。
欧几里得几何有时也指平面上的几何，即平面几何。
三维空间中的欧几里得几何通常称为立体几何。
高维情况见欧氏空间。
数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点、线、面的假设。
数学家也用这个术语来表示具有类似性质的高维几何。
公理描述
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欧几里德几何的传统描述是一个公理体系，所有的“真命题”都是由有限公理来证明的。
欧几里得几何的五个公理是:
任何两点都可以用直线连接起来。
任何线段都可以无限延伸成一条直线。
给定一条任意的线段，你可以用它的一个端点作为圆心，线段作为半径做一个圆。
所有直角都全等。
如果两条直线都与第三条直线相交，且同侧内角之和小于两个直角，则两条直线必在该侧相交。
第五个公理称为平行公理，可以推导出以下命题:
通过不在一条直线上的点，有且仅有一条直线不与该直线相交。
平行公理没有其他公理那么明显。
许多几何学家试图用其他公理来证明这个公理，但都失败了。
19世纪，通过构造非欧几何，证明了平行公理无法证明。
(如果把平行公理从上述公理体系中去掉，就可以得到一个更一般的几何，即绝对几何。
)
另一方面，欧几里德几何的五个公理并不完整。
比如这个几何中有一个定理:任何线段都是三角形的一部分。
他用通常的方法构造:以线段为半径，以线段的两个端点分别为圆心，以两个圆的交点为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆一定相交。
因此，许多公理系统的修正版本被提出，包括希尔伯特公理系统。
欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。
当然，事后他还利用了量的其他性质。
与同一事物相等的事物是相等的。
同等物加同等物还是同等物。
相等的东西减去相等的东西还是相等的。
如果一件事与另一件事重合，它们就是相等的。
整体大于局部。
欧几里得几何的建立
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欧几里得几何是欧几里得几何学的简称，其创始人是公元前三世纪古希腊伟大的数学家欧几里得。
在他之前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，开始用逻辑推理来证明一些几何命题的结论。
伟大的几何建筑师欧几里得在前人准备的“木、石、砖”材料的基础上，将几何命题按照逻辑体系进行排列，建成了巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。
这本书的出版标志着欧几里得几何学的建立。
这部科学著作是发行和使用最广泛的书籍。
后来被翻译成多国文字，版本超过2000种。
它的出现是数学发展史上极其深远的事件，也是人类文明史上的里程碑。
两千多年来，这本书一直占据着几何教学的主导地位，其地位至今无人撼动。包括中国在内的许多国家仍将其作为几何教材。
不朽的纪念碑
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欧几里德整理了许多没有联系、没有得到严格证明的早期定理，写出了《几何原本》一书，把几何变成了建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。
这部划时代的著作分为13卷，465个命题。
关于几何的有八册，包括现在中学学的平面几何和立体几何的内容。
然而，《几何原本》的意义绝不仅限于其内容的重要性或其对定理的出色证明。
真正重要的是欧几里德在他的书中创造的一种叫做公理化的方法。
证明几何命题时，每一个命题总是由前一个命题导出，前一个命题又由前一个命题导出。
这个我们不能无限推导，要从一些命题入手。
这些不言而喻，被公认为论证起点的命题被称为公理，比如学生学过的“两点决定一条直线”。
同样，还有一些没有定义的原始概念，比如点和线。
在一个数学理论体系中，我们尽可能少地取原始概念和一些未证明的公理，用纯逻辑推理的方法把体系建成演绎体系。这种方法就是公理化方法。
欧几里得采用的就是这种方法。
他首先布局了公理、公设和定义，然后系统地证明了一系列由简单到复杂的命题。
他以公理、公设和定义为元素，首先证明了第一个命题为已知。
然后在此基础上证明第二个命题，以此类推，证明大量命题。
其精彩的论证、缜密的逻辑、严谨的结构令人惊叹。
零散的数学理论被他成功地编织成一个从基本假设到最复杂结论的系统。
因此，在数学发展史上，欧几里德被认为是第一个成功地、系统地应用公理化方法的人，他的工作被公认为是第一个用公理化方法建立演绎数学体系的模型。
正是在这个意义上，欧几里得的《几何原本》对数学的发展产生了重大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。
欧几里得几何的完美
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公理化方法几乎渗透到了数学的各个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响。公理结构已经成为现代数学的主要特征。
几何元素作为最早完成公理化结构的模型，用现代标准衡量，在逻辑严密性上仍有许多不足。
例如，一个公理系统有一些原始概念(或未定义的概念)，如点、线、面。
欧几里德定义了所有这些，但定义本身是模糊的。
另外，它的公理体系并不完整，很多证明还得靠直觉。
另外，个别公理不是独立的，也就是可以从其他公理推导出来。
这些缺陷在1899年德国数学家希尔伯特出版他的《基础几何》时得到完善。
在这部巨著中，希尔伯特成功地建立了一个完整而严密的欧几里德几何公理系统，即所谓的希尔伯特公理系统。
这一体系的建立，使欧几里得几何成为一个非常完善和严谨的具有逻辑结构的几何体系。
它也标志着欧几里得几何完美的终结。
欧几里得几何的意义
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欧洲几何因其生动的直观性和严密的逻辑演绎方法的结合，成为在长期实践中培养和提高青少年逻辑思维能力的良好教材。
不知道历史上有多少科学家受益于研究几何，做出了巨大贡献。
十几岁时，牛顿在剑桥大学附近的一家夜总会买了一本《几何》。起初，他认为书的内容并没有超出常识的范围，所以并没有认真读，而是对笛卡尔的《坐标几何》很感兴趣，专心致志地读了起来。
后来牛顿在4月参加奖学金考试时落选，1664。当时的考官巴罗博士对他说:“因为你的几何基础知识太差了，再怎么努力也不行。”这次谈话给了牛顿很大的震动。
然后，牛顿从头到尾学习了《几何原本》，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。
爱因斯坦这位现代物理学的科学巨星，也是一位精通几何并运用几何思维方法创造自己研究工作的科学家。
爱因斯坦在回忆自己走过的路时，特别提到十二岁时，“几何的清晰和可靠给我留下了难以形容的印象。”
后来，几何学的思维方法真正启发了他的研究工作。
他多次提出，在物理研究中，也要从所谓公理的几个基本假设出发，进行逻辑推理。
在狭义相对论中，爱因斯坦用这种思维方式将整个理论建立在两个公理上:相对性原理和光速不变原理。
在几何学发展史上，欧几里得的《几何原本》发挥了重要的历史作用。
这个作用归结到一点，就是提出了几何学的“基础”及其逻辑结构。
在他的《几何原本》中，他用逻辑链把几何从这里到那里，这是以前从来没有过的。
但是，在人类认识的长河中，再高明的前辈和名家，也不可能解决所有的问题。
由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出的几何学的“基础”问题并没有得到彻底解决，他的理论体系并不完善。
比如直线的定义，其实就是一个未知的定义去解释另一个未知的定义，这样的定义在逻辑推理中起不到任何作用。
再比如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续性”的概念，但在《几何原本》中从未提及。
现代方法
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现在的欧几里得几何通常不是用公理化的方法构造的，而是用解析几何构造的。
这样，欧几里得(或非欧几里得)几何中的公理就可以被证明为定理。
现代应用
21世纪主要使用欧洲几何！欧洲几何已经成为现代人显而易见的数学几何。
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非洲东北部有一条举世闻名的河流——尼罗河。
它穿过非洲北部的撒哈拉沙漠，流入地中海，海峡两岸的狭长地带变成了肥沃的绿洲。
在河流下游流过的地方，最古老的文明之一埃及诞生了。
尼罗河三角洲盛产一种叫做纸莎草的水生植物。
古埃及人把纸莎草的茎一层一层撕成薄片，然后一张一张地粘在一起，就成了书写纸。
许多古埃及纸莎草纸被保存至今，成为我们考察埃及历史文化的珍贵资料。
埃及人大约在公元前3500年写下了文字。
最早保存下来的记录数学知识的纸莎草纸现藏于大英博物馆。
这张纸莎草纸是生活在公元前1600年到1800年间的阿莫斯写的。
据他说，纸莎草纸的内容是从公元前2200年前的旧纸中转录出来的。
在这张纸莎草纸上，有一些关于分数和算术的四则运算的描述，还有度量的规则。
古埃及的皇帝被称为“法老”，著名的金字塔是法老的陵墓。
今天，有70多座金字塔散布在尼罗河三角洲的南部。
其中最大的是齐王金字塔:塔高146.5米；塔基础的每一边大约240米长，它围绕塔大约一公里。塔内有隧道、石阶和坟墓。
这座金字塔建于公元前2800年，在巴黎埃菲尔铁塔于8月18日建成之前的4600多年里，它一直是世界上最高的建筑。
这真是一个惊人的奇迹！在建造这些巨大建筑的过程中，古埃及人积累了丰富的几何知识。
我们设想在建造金字塔之前必须先画出一份平面图。
估计这幅画是画在泥板上的，大概是世界上第一个平面图。
从分析中，制图员必须知道图案和完成的建筑，虽然大小不同，但形状相同。
可以判断当时的埃及人已经掌握了比例和相似的知识。
画完平面图后，要平整出一大片空地，在地面放出实际尺寸，准备施工。
建筑材料是重达数吨的大石头，一座金字塔需要很多这样的石头。
那时候还没有发明交通工具，也没有像样的道路。石头只能用船沿着尼罗河尽可能近的运送，然后用滚木运到工地。
每块石头都必须事先按照一定的形状进行凿磨。
石头的每个角都要用丁字尺或三角板反复校正成直角。
然后，铺一层巨大的石头作为地基。
第二层要按照一定比例变小，每层要放在下一层的正中间。
就这样一层一层的加，四面均等的减，最后准确的在塔顶相遇。
一座金字塔，几十万人，几百万块巨石，几十年才能建成，不出差错。你看古埃及人在设计、计算、测量和建造方面有多聪明！
如何准确画出直角，大概是古埃及人要解决的最大问题。
因为金字塔的地基必须是严格的正方形，四个角必须是严格的直角；无论哪个角度稍有偏差，整个建筑都会变形。
那时候还没有发明测量仪器，做一个周长一公里那么大的正方形都不容易！
他们大概是通过先在地下打入两根木桩，然后在木桩之间收紧绳子，从而划出一条直线，成为金字塔的一个边缘，来解决这个问题的。
然后，在两个木桩上各绑一根绳子，绳子的长度要超过两个木桩之间距离的一半。
拉紧绳子的末端，以木桩为原点旋转，画两条相交的弧线。
穿过这两条弧的交点，再画一条直线。当它与第一条直线相交时，夹角就是精确的直角。
后一条直线是地基的另一条边线。
那么，要检查墙壁或巨石的一边是否直立，如何在空中做直角呢？古埃及人熟练地使用了锤子对准。
这种方法一直沿用至今。
锤线摆动自如，在空中划出一道弧线，停止时与地面成直角。
如果墙能平行于锤线，那就是垂直于地面。
现在，我们都知道画直角的简单方法是用直角三角形。
但是，这必须先做一个直角三角形。
古埃及人用绳子来测量土地。
专业打结器的工作是在测量绳上等距打结。
也许他们最早发现了一些由三根一定长度的绳子组成的三角形，最长边对应的角是直角。
其中一个由三个、四个和五个等间距的结组成；另一种是等间距取5节，12节，13节。
把窄木条锯到这个长度，然后把它们首尾相连，做成一个直角三角形。
有了这种三角形，方便以后测量和画图。
农民自己盖茅屋，可以说:“我的房子长六步，宽四步，屋顶比我的头高一棵橡树。”
设计一个大型建筑金字塔不可能是这样的。
因为工人有几千人，每个人的步骤都和柞蚕不一样。
因此，他们规定某个人的长度——国王身体的某个部位据说是标准单位；然后按照这个标准单位，制作一定长度的木条或金属条，作为通用的测量工具。
这是最早的尺子。
在埃及，长度的主要单位是腕尺，也就是从手肘到中指指尖的长度。
更小的单位有:手掌尺，等于手腕尺的七分之一；一把尺子，等于四分之一掌尺。
这些小单位非常有用，因为当时的埃及人很难理解分数的含义。
今天，人们对分数已经很熟悉了，但在习惯上，大家都喜欢用小单位。
例如，英国人和美国人总是说七英寸，而不是十二分之七英尺。
在我国，有人说半英尺，但没人说十分之五英尺。
每到收获季节，埃及僧侣就向农民征税。
农民主要上交自己的农产品，需要标准的重量单位来称量小米、油、酒等。税额的多少是由土地的多少决定的，这就需要测算土地面积。
找面积的方法大概是工匠们刚开始铺方砖地板时学会的。
他们发现，如果一块地是三块砖长，三块砖宽，需要铺九块砖(3×3)；另一块地，三块砖长，五块砖宽，需要十五块砖(3×5)。
这样，要计算正方形和长方形的面积，只要用长度乘以宽度就可以了。
但问题是，并非所有的土地都是正方形或长方形的。
有的土地，好像有棱角，形状很不规则，方便分成几个三角形。
怎样才能求出三角形的面积？其实一旦掌握了矩形和正方形面积的解法，三角形面积就不难找了。
一块正方形的亚麻布可以折成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积正好是正方形的一半。
估计就是从这个简单的线索，古埃及人学会了如何求三角形的面积:长乘以宽，再除以二。
我认为测量土地的工作很繁重。
因为埃及的土地主要分布在尼罗河沿岸，每年7月中旬河水就开始泛滥，淹没了很多土地，直到11月才开始退去。
洪水退去后，田地里留下了一层肥沃的淤泥，帮助农民获得丰收；但是洪水冲走了土地边界，土地每年都要重新测量。
因此，人们常常把几何学起源于埃及的原因归结于尼罗河水的泛滥。
在大量的测量工作中，埃及人肯定会遇到“圆”这种难懂的图形。
他们觉得难的是不能把圆分成很多三角形，每个三角形都是由三条直线组成的标准三角形。
所以古埃及人认为圆是上天赐予人们的神圣图形。
今天，我们都很熟悉圈子，每天都和圈子打交道，但要了解和掌握圈子的本质并不容易。
实践出真知。
早期的埃及人一定是通过在木桩上缠绕一根绳子来画一个圆。
他们用一根长绳画了一个大圆，用一根短绳画了一个小圆，知道圆面积的大小是由圆周到圆心的距离决定的。
这就是我们常说的半径。
大约3500年前，当金字塔已经成为古迹的时候，一份名为Ahmet的埃及文献写下了这样一个规律:一个圆的面积非常接近一个一边半径为1的正方形面积的3又7分之1倍。
这在当时是一个伟大的发现！
Ahmet是如何得到这种计算圆面积的方法的，恐怕我们永远也不会知道了。我们只能猜测他很可能用了画三角形的方法。
现在，他的纸莎草手稿被装在一个精致的框架里，挂在伦敦的大英博物馆里。
虽然散落在世界各地博物馆的纸莎草手稿可以帮助我们了解古埃及的数学，但现有的资料大多是从尼罗河沿岸的古建筑调查中获得的。
有些金字塔四面准确地面向东、西、北、南，这表明古埃及人在确定方向方面非常聪明。
他们可能根据一根高大石柱的影子来确定东西南北。
那里是一座大寺庙的遗址，一排柱子屹立至今。
在一年的365天里，只有夏季至日的早晨的阳光才能照在这一排柱子上。
数一数太阳沿着这根柱子两次照进寺庙的日子。这是一年的长度。
在测量时间方面，埃及人也是根据太阳、月亮和星星的位置和阴影来确定时间的。
然而，他们比原始的猎人和采集者先进得多。
早上原始人看到长长的影子，只能说:“还早呢！”“埃及人有一个日常规则。看着刻度木条上的影子，你可以说:“凌晨的第二个小时来了！" "
从此，人们有了真正的科学。
然而，古埃及留下的许多图片显示了掌管白天和黑夜的上帝的繁忙景象。
似乎他们背负着非常沉重的迷信包袱，在科学的道路上艰难地摸索着。