概率统计中，什么是柯西分布？

柯西分布又称柯西-洛伦兹分布，是以奥古斯丁·路易斯·柯西和亨德里克·洛伦兹命名的连续概率分布，其概率密度函数为

f(X；X0，γ)=1/πγ[1+(X-X0)平方/γ平方]

其中x0是定义分布峰值位置的位置参数，γ是最大值一半处的半宽度的比例参数。

作为一种概率分布，通常称为柯西分布，物理学家也称之为洛伦兹分布或布赖特-维格纳分布。它在物理学中的重要性很大程度上归因于它是描述强迫共振的微分方程的解这一事实。在光谱学中，它描述由于共振或其他机制而变宽的光谱线的形状。下一节将使用统计术语柯西分布。

x0 = 0，γ = 1的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为

f(X；0，1)=1/π[1+X的平方]

特点

其累积分布函数为:

f(X；X0，γ)=(1/π)* arctan[(X-X0)/γ]+1/2

柯西分布的均值、方差或矩都没有定义，它的众数和中位数都定义为等于x0。

设x代表柯西分布的一个随机变量，柯西分布的特征函数表示为:

φx(t；X0，γ)= exp(I * x0 * t-γ* t的绝对值)

如果U和V是两个独立的正态分布随机变量，期望值为0，方差为1，那么U/V之比就是柯西分布。

如果X1，…，Xn是分别符合柯西分布的独立同分布随机变量，那么算术平均值(X1+…+Xn)/n具有相同的柯西分布。为了证明这一点，让我们来计算抽样平均值的特征函数:

φ x pull (t)=E[exp(i*x pull *t)]

其中x-pull是采样平均值。这个例子说明我们不能抛弃中心极限定理中的有限变量假设。