分数解决问题——量率之争

方程法是在走化率为量的容易之路，而算术法是在走艰难的分率之路，单位1已知时的双法之争其实也是思路侧重 量还是率 之争（详见文末）。

解决问题的教学分为三个层次：

1.通过具体的题探究和巩固基本数量关系。

2.基本数量关系的应用：通过关键句的解设训练学生学会根据基本数量关系表示相关次量（一份量或单位1就是主量，常设为X），这是五下《用字母式表示数量》一节的主要教学目的。从此学生终于从数中解脱，经由字母式开始更深刻地理解数量之间的本质关系。

3.列方程：仅用表出的次量列方程 或 连同已设好的主量一起参与列出又涉及到其它数量关系的方程。

在此环节，学生有时需从整体把握好几个量之间的关系从而才能列出方程，是难度最大的。如：

显然这三个层次层层递进，难度逐渐增大。

以下就说说分数解决问题的大法：

单位1已知列算式，单位1未知列方程。如此则可一统天下，天下一统。

方程怕则，一则就折出来了。

解设时写出了则语，就成功了一半。

单位1未知时，写出“则语”非常重要，这样学生才能用眼睛看着这个出现的量，来把握它和其它量之间的关系。

除法例1例2的教学首先要解决设的问题。初期利用关键句专门训练解设直到熟练，然后即可开始正式教学。

需要注意的是例2当初教学乘法时就应有意识的侧重a×（1-c/b）这种形式，为下一步设的时候能快速直接写出X×（1-5/18）做准备，而且正式教学例2前还要通过关键句训练达到自动化的程度。

例1例2中的两种典型关键句，以及带尾巴型题，***三种典型关键句，均必须达到见之则自动化的程度，犹如乘法口诀一样。

要让学生意识到：如有分率出现，若单位1已知必可求另一个量，如单位1未知必可通过设单位1为x而表示出另一个量。

有时反而是离开了数，学生更容易聚焦并理解数量之间的关系。

后期复习时，亦不必去没玩没了的刷题，只需不断围绕三种典型关键句反复练习“设则”即可。第一种重点练习总量，完成和剩余三者之间的情境，因为两不同量（物）理解的很好，无需多练。比如：

复习分数解决问题时的两个例题：

1.对比各种方程，选出便于求解的方程，并提醒：如果列出的方程不便于求解，应对方程进行转化，使其便于求解。

2.以后凡是单位1未知集体交流时都只交流方程法，对算术法感兴趣的同学可作为个人兴趣研究。

一些：

和家长打好招呼，齐心协力：

?辅导孩子分数解决问题时请各位家长注意：过去的老教材是单位1已知用乘法，未知用除法，这种思路不利于中学的学习（中学主要以方程思维为主），所以现在这种思路基本已淘汰。

有利于孩子今后中学学习的方法是已知列算式，未知列方程。从历年中学选拔性试题来看也是侧重方程思维，所以请各位家长今后辅导孩子时注意这一点，要有意识地培养孩子的方程思维，这有助于孩子参加选拔性考试时解决那些复杂而陌生的问题。

分数解决问题 方程法的关键是解设时“则”字后面的内容，如果这个内容写出来了，那方程法就成功了一半。

下面是三个由简单到复杂的例子：

现在外面一些补课班有些老师还这么教，老师教的轻车熟路，认为简单，实际上除法学生理解起来很难。比如下面这个题：

一杯盐水，盐占盐水的1/10，再加入10克盐后，盐占盐水的2/11。原来盐水有多少克？

用方程法则比较容易理解。

一个同类型却更难的题：

需要注意的仍然是则语的书写。

可先说原来的爸妈，再说后来的爸妈，也可先说爸的原来和后来，再说妈的原来和后来，后者是从人的角度说的，显然前者从原来和后来的角度说更好一些。

像这种两个量后来都发生变化的题，总的原则是先写清“原来”两个量的情况，再写清“后来”两个量的情况。

更简单一些的例子如：

一些练习如下：

2019.11.16（一个月后）反思：

学生总是选择他们认为“简单”的方法（可能算式简单，但思维难度可能很大），而教师会推荐思维难度小的方程法，但学生却不一定买账。如何协调二者？

依我看，一些典型如除法例1例2的题是可以套同除法算式的，谁让这些题反复出来没完没了的侮辱学生呢？学生难道不应该反过来用秒杀来反抗吗？

至于其它题变式题则不妨以方程法先入为主，并采取手段要求学生确实掌握，这是学生必须具备的能力，光知道套公式只知道套公式的学生是不具备可持续发展能力的。

如此说来，题分三种，已知用乘法，未知分两种：典型题用除法（要给典型题起名，以便称呼），变式题用方程。

对这种死题型就套公式即可（当然方程后续也要通过变式题进行弥补），下次如何突出一正一反一乘一除的关系？

就选用第二个数量关系式，干脆利索呈现一正一反一乘一除之关系。

2019.11.23日反思：

受 通法与规律之争 一文启发，想到这样一种教学思路，即单位1未知时视方程法通法，算术法为规律。同时为了抢在补课班前讲解，对分数乘除法计算和解决问题进行整合，具体调整如下：

1.计算先学分数乘分数，再学分数乘整数，紧接着学分数除法。

2.采用乘除法对比的方法逐个学习下列三类典型解决问题，好处一是从一开始就可培养学生辨别单位1已知未知的意识，从一开始就可以培养方法已知列算式未知列方程的方法意识，二是根本不给补课班灌输单位1未知用除法的机会，即便将来学习了也会成为一种备用方法，成为一种暗语。

法一是在“化率为量”。方程法是在走化率为量的容易之路，而算术法是在走艰难的分率之路，单位1已知时的双法之争其实也是思路侧重 量还是率 之争。

若走率之路则对比的教学方法不妥，因为是两种截然不同的思路，还是先学乘后学除好。

2019.11.29反思：

课本上的基础题基本教学要求有必要引入方程吗？是那些偏难怪题才引出了方程，可适当介绍，但我觉得没必要刻意为之，方程虽好，可我的一厢情愿是否增加了学困生的学习负担了呢？

再回到“单位1已知用乘法，看着问题想分率；单位1未知用除法，看着数量想分率”？

若真走算术法之路，则是又回到了法二的路上，而分率恰恰是学生难以理解的，而这正是算术法的“艰难之处”。

法一是在化率为量，而法二则是一条艰难的分率之路——对学困生来说分率的变换永远是一个难点。

2019.12.1反思：

思考良久，如果想走方程法之路，那从一开始就要扎扎实实走好每一步。眼下复习时间紧迫，考虑效率的问题只能用算术法机械套用快速解决。

而且以后我也未必会走方程之路——书写量大且繁琐——在死题型的套用上是会败给算术法的简单高效的，最简单的如乘除两步解决问题方程法就会遇到尴尬，还有一个原因是被外面的补课班逼的，他们都用算术法，若用方程必须抢先，若能抢先，当然是方程这种大一通有利于学生掌握。

几点思考：

1.三种典型题以算术为主，方程为辅。若走方程之路即量之路则对比教学好，若走算术之路即率之路则对比的教学方法不妥，一是因为是两种截然不同的思路，二是不利于知总量求剩余型题的学习，，还是先学乘后学除好。至于对比，只能放到学习除法时即在练习或作业中乘除两种题型混杂出现来解决，即边学习除法边对比。

注：下次教学除法不要从乘法复习题引入了，直接分析单位1未知，然后提出大法：对应量?对应率=单位1，照此操作即可。

2.和（差）率问题，带尾巴问题必须方程。

3.算术法要在率上着力。如第2类问题用去一些剩下的分率是多少和鸡比鸭多1/3鸡的分率是多少——可通过专项训练和最初乘法就以法二——侧重率法的方式进行突破。

4.其它变式问题在介绍完算术法后，要抓住无法生搬硬套的机会介绍渗透方程思维，作为一点小小的补救补偿。

2019.12.21反思：

通过以下对比就会发现方程的优势，它确实突出了各种类型题数量关系（正是学生学习解决问题的软肋），下次值得通过抢和对比的方式尝试教学。

方程教学思路：

注：为抢时间，双分数型和带尾巴型宜放在最后学习。如何进一步争取时间？是嘱咐家长不要提前补还是让孩子来我这里补？

我想最好的办法是在放假前利用几节课将最基本前三种题型进行学习，只列式或列方程不计算，只为植入单位1已知列算式，未知列方程的理念。同时在放假前提前短信提醒家长不要提前补下学期的新内容，补课班的算术方法会与课本还有中学的方程思路相违背，并且在期末家长会上进行讲解说明。

辅导孩子分数解决问题时请各位家长注意：过去的老教材是单位1已知用乘法，未知用除法，这种思路不利于中学的学习（中学主要以方程思维为主），所以现在这种思路基本已淘汰。

有利于孩子今后中学学习的方法是已知列算式，未知列方程。从历年中学选拔性试题来看也是侧重方程思维，所以请各位家长今后辅导孩子时注意这一点，要有意识地培养孩子的方程思维，这有助于孩子参加选拔性考试时解决那些复杂而陌生的问题。